Версия для печати
Убрать все задачи

---

В ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что LMN всегда остроугольный (независимо от вида ABC).

   Решение

---

Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97991  (#1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы
  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),
  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97992  (#2)

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Тождественные преобразования ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что  a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0,  если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию  p + q + r = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97993  (#3)

Темы:   [ Перестановки и подстановки ] [ Отношение порядка ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97994  (#4)

Темы:   [ Обход графов ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97986  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями