Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках таблицы n×n стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за n ходов.

   Решение

---

Даны два набора из n вещественных чисел:  a₁, a₂, ..., a_n  и  b₁, b₂, ..., b_n.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
  а) из  a_i < a_j  следует, что  b_i ≤ b_j;
  б) из  a_i < a < a_j,  где  a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n),  следует, что  b_i ≤ b_j,
то верно неравенство   n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

   Решение

---

Дана 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Определить фальшивые монеты не требуется.)

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98039

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Барицентрические координаты ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98040

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В прямоугольной таблице m строк и n столбцов  (m < n).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98044

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дана 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Определить фальшивые монеты не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98049

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Приближения чисел ] [ Метод координат на плоскости ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (m, n),  каждое из которых не превышает 1000, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98053

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями