В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.
  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

   Решение

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если  a² + 9ab + b²  делится на 11, то и  a² – b²  делится на 11.

   Решение

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

   Решение

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет.

б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

   Решение

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

   Решение

На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

   Решение

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

   Решение

В одной из вершин  а) октаэдра;  б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?

   Решение

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число  m + 6  тоже хорошее, а если число n плохое, то и число  n + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

   Решение

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

   Решение

Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

   Решение

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны две окружности одна внутри другой. Построить такую точку O, что одна окружность получается из другой гомотетией относительно точки O (другими словами – чтобы растяжение плоскости от точки O с некоторым коэффициентом переводило одну окружность в другую).

Прислать комментарий

Решение

В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]