ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 56944

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 6
Классы: 9

Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O. Стороны треугольника A1B1C1 параллельны прямым PA, PB, PC ( PA| B1C1 и т. д.). Через вершины треугольника A1B1C1 проведены прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P1, которая лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P1 параллельна прямой OP.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56945

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 6
Классы: 9

Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56946

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке HP — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56947

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 6
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; la — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые lb, lc и ld определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56948

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .