Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 110]
Задача
57055
(#06.043)
[Обобщенная теорема Птолемея]
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10
|
Окружности
,
,
и 
касаются данной
окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD.
Пусть
t
— длина общей касательной к окружностям
и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно,
и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
t
, t
и т. д. определяются аналогично. Докажите,
что
tt + tt = tt (обобщенная теорема Птолемея).
Задача
57056
(#06.044)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE
угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.
Задача
57057
(#06.045)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9
|
а) Диагонали AC и BE правильного
пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная
окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что
d2 = a2 + ad.
Задача
57058
(#06.046)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9
|
Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.
Задача
57059
(#06.047)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в
окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно
сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.).
Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S,
равна c. Докажите, что
a2 + b2 = c2.
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 110]
Фильтр
