Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]

Задача 57757 (#14.011)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые CC₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{CA_1}{A_1B}}$ + ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ ;
б) ${\frac{AO}{OA_1}}$ ^. ${\frac{BO}{OB_1}}$ ^. ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{AO}{OA_1}}$ + ${\frac{BO}{OB_1}}$ + ${\frac{CO}{OC_1}}$ + 2 $\ge$ 8.

Прислать комментарий Решение

Задача 57758 (#14.012)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = AC₁/C₁B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

Прислать комментарий Решение

Задача 57759 (#14.012.1)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

В середины сторон треугольника ABC помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.
Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.12.1 совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.

Прислать комментарий Решение

Задача 57760 (#14.013)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57761 (#14.013.1)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На прямых $BC$ , $CA$ , $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$ , $B_1$ и $B_2$ , $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$ , $B_1C_2\| BC$ , $C_1A_2\| CA$ . Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$ , $BB_2$ и $CC_1$ ; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$ , $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]