ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]      



Задача 57757  (#14.011)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 так, что прямые CC1, AA1 и BB1 пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) $ {\frac{CO}{OC_1}}$ = $ {\frac{CA_1}{A_1B}}$ + $ {\frac{CB_1}{B_1A}}$;
б) $ {\frac{AO}{OA_1}}$ . $ {\frac{BO}{OB_1}}$ . $ {\frac{CO}{OC_1}}$ = $ {\frac{AO}{OA_1}}$ + $ {\frac{BO}{OB_1}}$ + $ {\frac{CO}{OC_1}}$ + 2$ \ge$8.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57758  (#14.012)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57759  (#14.012.1)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

В середины сторон треугольника ABC помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.
Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.12.1 совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57760  (#14.013)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57761  (#14.013.1)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 6
Классы: 9

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .