ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что m ≠ n? Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске? Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше? На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан. Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2? |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.
Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.
a1, a2, a3, a4, a5, a6 – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что a1 – a4 = a3 – a6 = a5 – a2.
"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 "крокодил" – это шахматный конь).
а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке