Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Докажите, что ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число a ≠ 1, и разрезать этот кусок в отношении 1 : a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?
б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное a ≠ 1.

Решение

Авторы: Иванов-Погодаев И.А., Малистов А.С.

Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.

Решение

Известно, что p > 3 и p – простое число.
а) Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел p + 1 и p – 1 делиться на 4?
б) А на 5?

Решение

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что $\angle$ ABP = $\angle$ CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что $\angle$ ABE = $\angle$ CBD.

Решение

Задача 77875

Задача 77879

Задача 77877