Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]

Задача 78609

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий Решение

Задача 78628

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78630

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Метод координат в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.

Прислать комментарий Решение

Задача 78631

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Прислать комментарий Решение

Задача 78626

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Признаки делимости на 11	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Задано такое натуральное число A, что для любого натурального N, делящегося на A, число тоже делится на A. ( – число, состоящее из тех же цифр, что и N, но записанных в обратном порядке; например, = 7691, = 54). Доказать, что A является делителем числа 99.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]