Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел a, b, c, для которых выполняется равенство a¹⁵ + b¹⁵ = c¹⁶.

Прислать комментарий

Решение

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу:  x₁ = 2,  ...,  x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность  y_n = (–1)^x_n  непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
  а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
  б) Постройте пример такого турнира семи команд.
  в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]