Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79382 (#1)

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодические и непериодические дроби	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Карагулян А.

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что a_n+1 ≤ 10a_n при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79383 (#2)

Темы:	[	Правило произведения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Теорема Лагранжа	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Гринберг Н.

На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79384 (#3)

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На прямоугольном листе клетчатой бумаги размером m×n клеток расположено несколько квадратов, стороны которых идут по вертикальным и горизонтальным линиям бумаги. Известно, что никакие два квадрата не совпадают и никакой квадрат не содержит внутри себя другой квадрат. Каково наибольшее число таких квадратов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79645 (#4)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 7,8

См. задачу 79385 в) и г).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79381 (#5)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

На хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около $\Delta$ ACO. Доказать, что CD = CB.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]