Версия для печати
Убрать все задачи

---

В турнире по футболу участвует 2n команд  (n > 1).  В каждом туре команды разбиваются на n пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2n – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103856  (#1)

Темы:   [ Перебор случаев ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98468  (#2)

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В трапеции ABCD площади 1 основания BC и AD относятся как  1 : 2.  Пусть K – середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону AB в точке L. Найдите площадь четырёхугольника BCKL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98469  (#3)

Темы:   [ Призма (прочее) ] [ Раскраски ] [ Теория графов (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
  а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98470  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория графов (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями