Версия для печати
Убрать все задачи

---

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

Докажите, что если  ctg(/2) = (b + c)/a, то треугольник прямоугольный.

   Решение

---

Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   w =   и комплексного сопряжения   w = z  инверсию относительно окружности
  а) с центром i и радиусом R = 1;
  б) с центром  Re^iφ  и радиусом R;
  в) с центром z₀ и радиусом R.

   Решение

---

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 132]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108742

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108743

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108749

Темы:   [ Периметр треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108970

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Модуль числа (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Доказать, что выражение

+
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108973

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 132]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями