Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 239 240 241 242 243 244 245 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57606

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что r_a + r_b + r_c = 4R + r.

Прислать комментарий Решение

Задача 57617

Тема:

[

Длины сторон, высот, медиан и биссектрис

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что

$\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}$

Прислать комментарий

Решение

Задача 57618

Тема:

[

Длины сторон, высот, медиан и биссектрис

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что длину биссектрисы l_a можно вычислить по следующим формулам:
а) l_a = $\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$ ;
б) l_a = 2bc cos( $\alpha$ /2)/(b + c);
в) l_a = 2R sin $\beta$ sin $\gamma$ /cos(( $\beta$ - $\gamma$ )/2);
г) l_a = 4p sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2)/(sin $\beta$ + sin $\gamma$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 57622

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ + 4 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ + 1 = 0;
б) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ + 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = 1.
в) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ = ${\frac{OH^2}{2R^2}}$ - ${\frac{3}{2}}$ , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Прислать комментарий Решение

Задача 57623

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ + sin 2 $\gamma$ = 4 sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 239 240 241 242 243 244 245 >> [Всего задач: 4557]