Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 378 379 380 381 382 383 384 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56880

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56882

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56998

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P, CH – высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57000

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57001

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 378 379 380 381 382 383 384 >> [Всего задач: 4557]