Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 397 398 399 400 401 402 403 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60620

[Теорема Валена]

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что если ^P_n/_{Q_n} (n ≥ 1) – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств или Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Прислать комментарий

Решение

Задача 60632

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обход графов	]
	[	Степень вершины	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Город имеет форму квадрата 5×5:

Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60633

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках?
б) Тот же вопрос для коня.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60651

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
а) 8; б) 32 различных делителя.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60653

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что
а) 2⁴¹ + 1 делится на 83;
б) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ делится на 13;
в) 2⁶⁰ – 1 делится на 20801.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 397 398 399 400 401 402 403 >> [Всего задач: 4557]