Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 438 439 440 441 442 443 444 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61288

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть |x₁| ≤ 1 и |x₂| ≤ 1. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 61308

Тема:

[

Предел последовательности, сходимость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Числа a₁, a₂, ..., a_k таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ (x_n + a₁x_{n - 1} +...+ a_kx_{n - k}) = 0

возможно только для тех последовательностей {x_n}, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = 0. Докажите, что все корни многочлена

P( $\displaystyle \lambda$ ) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a₁ $\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a₂ $\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ a_k

по модулю меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61322

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61323

[Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61324

[Геометрико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана с μ(a, b) (см. задачу 61322) равенством ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 438 439 440 441 442 443 444 >> [Всего задач: 4557]