Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 525 526 527 528 529 530 531 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61095

Тема:

[

Разложение на множители

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что многочлен x⁴⁴ + x³³ + x²² + x¹¹ + 1 делится на x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61096

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Вычислите:
а) cos ^2π/₇ + cos ^4π/₇ + cos ^6π/₇;
б) cos ^2π/₇ cos ^4π/₇ cos ^6π/₇.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61097

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

а) Докажите, что многочлен P(x) = (cos φ + x sin φ)ⁿ – cos nφ – x sin nφ делится на x² + 1.
б) Докажите, что многочлен Q(x) = xⁿsin φ – ρ^n–1xsin nφ + ρⁿsin(n – 1)φ делится на x² – 2ρxcos φ + ρ².

Прислать комментарий

Решение

Задача 61099

[Многочлены Чебышева]

Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = T_n(cos x), sin nx = sin x U_n–1(cos x), где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61108

Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Известно, что z + z^–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zⁿ + z^–n через y = z + z^–1?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 525 526 527 528 529 530 531 >> [Всего задач: 4557]