Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 615 616 617 618 619 620 621 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58363

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если L — аффинное преобразование, то
а) L( $\overrightarrow{0}$ ) = $\overrightarrow{0}$ ;
б) L(a + b) = L(a) + L(b);
в) L(ka) = kL(a).

Прислать комментарий Решение

Задача 58364

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть A', B', C' — образы точек A, B, C при аффинном преобразовании L. Докажите, что если C делит отрезок AB в отношении AC : CB = p : q, то C' делит отрезок A'B' в том же отношении.

Прислать комментарий Решение

Задача 58383

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ четырехугольника A₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки A₂, B₂, C₂, D₂. Известно, что

$\displaystyle {\frac{AA_1}{BA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_1}{CB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_1}{DC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{DD_1}{AD_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1D_2}{D_1D_2}}$ = $\displaystyle {\frac{D_1C_2}{C_1C_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1B_2}{B_1B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1A_2}{A_1A_2}}$ .

Докажите, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58384

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M₁, N₁ и P₁ симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.
б) если M₁, N₁ и P₁ — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM₁| BC, NN₁| CA и PP₁| AB, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 58393

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 615 616 617 618 619 620 621 >> [Всего задач: 4557]