Страница:
<< 618 619 620 621
622 623 624 >> [Всего задач: 4557]
Докажите, что число 22n – 1 имеет по крайней мере n различных простых делителей.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним
и тем же. Например:
(4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
(4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В каких пределах должно заключаться c, чтобы уравнение 19x + 14y = c имело шесть натуральных решений?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом: n = 2e1 + 2e2 +...+ 2er (e1 > e2 > ... > er ≥ 0).
Докажите, что n! делится на 2n–r, но не делится на 2n–r+1.
Страница:
<< 618 619 620 621
622 623 624 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
