Страница:
<< 620 621 622 623
624 625 626 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность
чисел Люка
{
L0,
L1,
L2, ...} =
{2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами
L0=2,
L1=1,
Ln=
Ln-1+
Ln-2 при n>1.
Выразите
Ln в замкнутой форме
через
и
.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a1, a2, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что (am, an) = a(m, n) (m, n ≥ 1).
Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты 
являются целыми числами.
|
[Цепные дроби и электрические цепи]
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Для данного рационального числа a/b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы a/b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a×b на квадраты из задачи 60598?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1, P0 = a0, Pk = akPk–1 + Pk–2 (1 ≤ k ≤ n); Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = akQk–1 + Qk–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу [a0; a1, a2, ..., an].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
б) PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
в) (Pk, Qk) = 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби
[a0; a1, ..., an, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.
Страница:
<< 620 621 622 623
624 625 626 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
