Страница: << 623 624 625 626 627 628 629 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60748

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p – простое число,  p > 2.  Докажите, что любой простой делитель числа  2^p – 1  имеет вид  2kp + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60751

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть для простого числа  p > 2  и целого a, не кратного p, выполнено сравнение  x² ≡ a (mod p).  Докажите, что  a^(p–1)/2 ≡ 1 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60756

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60757

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60764

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть    Докажите равенство   φ(n) = n(1 – ¹/_p1)...(1 – ¹/_ps).
  а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера;
  б) пользуясь формулой включения-исключения.
Определение функции Эйлера φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 623 624 625 626 627 628 629 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями