Страница: << 624 625 626 627 628 629 630 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60775  [Тождество Гаусса]

Тема:   [ Функция Эйлера ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите тождество Гаусса  φ(d ) = n. Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60779  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Теорема Эйлера ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60825  [Китайская теорема об остатках]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4

Докажите китайскую теорему об остатках:
  Пусть целые числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты,  m = m₁...m_n,  и a₁, ..., a_n, A – произвольные целые числа. Тогда существует ровно одно такое целое число x, что
    x ≡ a₁ (mod m₁),
      ...
    x ≡ a_n (mod m_n)

и   A ≤ x < A + m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60829

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления числа 1000! на 10²⁵⁰.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60831

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть натуральные числа m₁, m₂, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x₁, x₂, ..., x_n пробегают полные системы вычетов по модулям m₁, m₂, ..., m_n соответственно, то число  x = x₁m₂...m_n + m₁x₂m₃...m_n + ... + m₁m₂...m_n–1x_n  пробегает полную систему вычетов по модулю m₁m₂...m_n. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 624 625 626 627 628 629 630 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями