Книги/журналы:
-
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
(556 задач)
Иванов С.В., Математический кружок
(180 задач)
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
(1254 задачи)
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
(1950 задач)
Прасолов В.В., Задачи по алгебре, арифметике и анализу
(1 задача)
Г. Полиа и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа
(1 задача)
Журнал "Квант"
(470 задач)
Е.Г.Козлова, Сказки и подсказки
(349 задач)
V. Pantaloni, E. Southall, Geometry Snacks
(1 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 627 628 629 630 631 632 633 >> [Всего задач: 4557]
Ханойская башня и двоичная
система счисления.
Рассмотрим два
процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов. Первый —
это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу
1.42) при
помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления
единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1.
Опишите связь между этими двумя процессами.
Задача Иосифа Флавия.
n человек выстраиваются по кругу и
нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый
второй до тех пор, пока не останется только один человек.
Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4,
6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5.
Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего
оставшегося человека. Докажите, что
а) J(2n) = 2J(n) - 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1bm - 1bm - 2...b1b0)2, то J(n) = (bm - 1bm - 2...b1b01)2.
Ним-сумма. Будем
говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k
(
m 
k = n), если оно получается из чисел m и k после
следующих преобразований.
1) m и k записываются в двоичной системе счисления
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:
Например, 4 7 = 3, так как
а) m m = 0; б)
m k = k m; в)
(m t) k = m (t k);
г) если n
0 и
то найдется такой номер j ( 1
j l), для которого
mj n < mj.
Марсианские
амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные
игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение
задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства
Проанализируйте при помощи ним-сумм игру
``Йога''
из
задачи 4.21.
Страница: << 627 628 629 630 631 632 633 >> [Всего задач: 4557]
Задача 60912 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 60913 |
|
|
а) J(2n) = 2J(n) - 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1bm - 1bm - 2...b1b0)2, то J(n) = (bm - 1bm - 2...b1b01)2.
|
|
|
Решение |
Задача 60914 |
|
|
1) m и k записываются в двоичной системе счисления
m = (ms...m1m0)2, k = (ks...k1k0)2
(меньшее
число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:
(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) 
(ns,..., n1, n0)(mod 2).
3) Набор цифр
(ns,..., n1, n0) переводится в число n:
(ns...n1n0)2 = n.
Например, 4
4 = (100)2, 7 = (111)2, (1, 0, 0) + (1, 1, 1) (0, 1, 1)(mod 2), (011)2 = 3.
Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m
г) если n
то найдется такой номер j ( 1
|
|
|
Решение |
Задача 60916 |
|
|
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства
f (A) 
f (B) = f (C), f (A) f (C) = f (B), f (B) f (C) = f (A).
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
|
|
|
Решение |
Задача 60917 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 627 628 629 630 631 632 633 >> [Всего задач: 4557]
