Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 628 629 630 631 632 633 634 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60934

Тема:

[

Квадратный трехчлен (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе y = 2x² можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60974

[Китайская теорема об остатках для многочленов]

Темы:	[	Китайская теорема об остатках	]
Темы:	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
...
p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60990

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60993

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями a₀ = 0, a_n+1 = P(a_n) (n ≥ 0), где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60994

Тема:

[

Системы алгебраических нелинейных уравнений

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Решите систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 628 629 630 631 632 633 634 >> [Всего задач: 4557]