Страница:
<< 649 650 651 652
653 654 655 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Если
x1 < x2 < x3 < ... < xn — натуральные числа, то сумма
n – 1 дробей,
k-я из которых, где
k < n, равна отношению квадратного корня из разности
xk+1 - xk к числу
xk+1, меньше суммы чисел 1,
1/
2,
1/
3, ...,
1/
n2. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В некотором множестве введена
операция *, которая по каждым двум элементам
a и b этого множества вычисляет некоторый элемент
a*b этого множества. Известно, что:
1°. Для любых трех элементов a, b и c
a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если
a*b = a*c, то
b = c.
3°. Если
a*c = b*c, то
a = b.
Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Хозяин обещает работнику платить в среднем 
рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к 
Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
Страница:
<< 649 650 651 652
653 654 655 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
