Страница:
<< 655 656 657 658
659 660 661 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого
пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей
вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми.
Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых
президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых
только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии).
Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет,
чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "выборщика" для голосования в большей группе: выборщики в этой большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё большей группе и т.д. Наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демократические" выборы, чтобы его выбрали? (В каждой группе выборщики выбирают своего представителя простым большинством. При равенстве голосов побеждает оппозиция.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника
действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Страница:
<< 655 656 657 658
659 660 661 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
