Страница:
<< 814 815 816 817
818 819 820 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном
элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Доказать, что для любых положительных чисел x1, x2, ..., xk (k > 3) выполняется неравенство:
б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество
комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В
комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов),
кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два
пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
б) Докажите, что 
Страница:
<< 814 815 816 817
818 819 820 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
