Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 816 817 818 819 820 821 822 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57036

Темы:	[	Подобные фигуры	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Преобразования подобия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем $\angle$ A + $\angle$ C₁ = 180^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 57089

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., n, все углы которого равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73538

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

   а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

   б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?

   Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом).

Прислать комментарий

Решение

Задача 73543

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце
игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.
а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?
б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?
в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73545

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Теорема Хелли	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Перпендикуляр и наклонная	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 816 817 818 819 820 821 822 >> [Всего задач: 4557]