Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 819 820 821 822 823 824 825 >> [Всего задач: 4557]

Задача 98162

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
в) но не может равняться 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98331

Темы:	[	Четность перестановки	]
	[	Обход графов	]
	[	Перестройки	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин С.В.

а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть f_ij означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107844

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Параллельный перенос (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58059

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
Темы:	[	Системы точек	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).

Прислать комментарий Решение

Задача 61336

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$ ...

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 819 820 821 822 823 824 825 >> [Всего задач: 4557]