Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 821 822 823 824 825 826 827 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73739

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Показательные неравенства	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Гуревич Г.А.

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10^{n – 1} до 10ⁿ – 1) больше хороших, чем плохих.

Постарайтесь найти возможно меньшее такое n.

Прислать комментарий Решение

Задача 56959

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56962

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда tgBtgC = 3.

Прислать комментарий Решение

Задача 56963

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB остроугольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из ее центра под углом 2| $\angle$ A - $\angle$ B|.

Прислать комментарий Решение

Задача 56964

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 821 822 823 824 825 826 827 >> [Всего задач: 4557]