Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 822 823 824 825 826 827 828 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57037

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Прислать комментарий Решение

Задача 57047

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите, что $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin 3\alpha }$.

Прислать комментарий Решение

Задача 57098

Тема:

[

Вписанные и описанные многоугольники

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Около окружности описан n-угольник A₁...A_n; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины n-угольника. Пусть a_i — расстояние от вершины A_i до прямой l, b_i — расстояние от точки касания стороны A_iA_{i + 1} с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина b₁...b_n/(a₁...a_n) не зависит от выбора прямой l;
б) величина a₁a₃...a_{2m - 1}/(a₂a₄...a_2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.

Прислать комментарий Решение

Задача 57099

Тема:

[

Вписанные и описанные многоугольники

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 57103

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 822 823 824 825 826 827 828 >> [Всего задач: 4557]