Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 820 821 822 823 824 825 826 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61339

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73603

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Инварианты	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Виленкин А.Н.

Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

Прислать комментарий Решение

Задача 73650

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Взвешивания	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73675

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Обратный ход	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Прислать комментарий Решение

Задача 73686

Темы:	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 820 821 822 823 824 825 826 >> [Всего задач: 4557]