Книги/журналы:
-
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
(556 задач)
Иванов С.В., Математический кружок
(180 задач)
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
(1254 задачи)
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
(1950 задач)
Прасолов В.В., Задачи по алгебре, арифметике и анализу
(1 задача)
Г. Полиа и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа
(1 задача)
Журнал "Квант"
(470 задач)
Е.Г.Козлова, Сказки и подсказки
(349 задач)
V. Pantaloni, E. Southall, Geometry Snacks
(1 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 838 839 840 841 842 843 844 >> [Всего задач: 4557]
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B'
и C' лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Даны четыре окружности
S1, S2, S3 и S4, причем
окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4
(S5 = S1). Докажите, что радикальная ось окружностей S1
и S3 проходит через точку пересечения общих внешних касательных
к S2 и S4.
а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A
и B. Степень точки P окружности S1 относительно окружности S2
равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а
расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите,
что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите, что | pa| SBCD = | pb| SACD.
Квадрат разделен на четыре части двумя
перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит
внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей
равны, то равны и площади всех четырех частей.
Страница: << 838 839 840 841 842 843 844 >> [Всего задач: 4557]
Задача 56728 |
|
|
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56729[Теорема Брианшона] |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56730 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56731 |
|
|
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите, что | pa| SBCD = | pb| SACD.
|
|
|
Решение |
Задача 56775 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 838 839 840 841 842 843 844 >> [Всего задач: 4557]
