Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 839 840 841 842 843 844 845 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56796

Тема:

[

Площадь четырехугольника

]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos²((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то S² = abcd sin²((B + D)/2).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56810

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 6
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а) aR_a $\geq$ cd_c + bd_b;
б) d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c $\geq$ 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в) R_a + R_b + R_c $\geq$ 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г) R_aR_bR_c $\geq$ (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Прислать комментарий Решение

Задача 56838

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 6
Классы: 8

а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r₁ + r₂ - 2r₁r₂/h.
б) Точки A₁, A₂, A₃,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + 1} равны одному и тому же числу r₁, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + k} равны одному и тому же числу r_k.

Прислать комментарий Решение

Задача 56870

Тема:

[

Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если $\angle$ CC₁B₁ = 30^o, то либо $\angle$ A = 60^o, либо $\angle$ B = 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 56876

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 839 840 841 842 843 844 845 >> [Всего задач: 4557]