Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 881 882 883 884 885 886 887 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57708

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

Прислать комментарий Решение

Задача 57727

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий Решение

Задача 57728

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57729

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 57789

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На прямых AB, BC, CA даны точки C₁ и C₂, A₁ и A₂, B₁ и B₂. Точки C₁ и C₂ определяют числа $\gamma_{1}^{}$ и $\gamma_{2}^{}$ , для которых (1 + $\gamma_{1}^{}$ ) $\overrightarrow{AC_1}$ = $\overrightarrow{AB}$ и (1 + $\gamma_{2}^{}$ ) $\overrightarrow{C_2B}$ = $\overrightarrow{AB}$ ; числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₂B₁, B₂C₁ и C₂A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{2}^{}$ = 0 точки A₂, B₂, C₂ совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{1}^{}$ $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{1}^{}$ $\gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. (Действительно, совпадение точек A₁ и A₂ эквивалентно тому, что ${\frac{1}{\alpha_1}}$ + ${\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 881 882 883 884 885 886 887 >> [Всего задач: 4557]