Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 878 879 880 881 882 883 884 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57022

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 57025

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

Прислать комментарий Решение

Задача 57044

Тема:

[

Четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 57106

Тема:

[

Теорема Паскаля

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Прислать комментарий Решение

Задача 57107

Тема:

[

Теорема Паскаля

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 878 879 880 881 882 883 884 >> [Всего задач: 4557]