Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 875 876 877 878 879 880 881 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60919

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Ним-сумма	]
	[	Симметричная стратегия	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73689

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10

Автор: Харазишвили А.Г.

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73775

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Показательные неравенства	]
	[	Логарифмические неравенства	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Белага Э.Г.

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий Решение

Задача 56927

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56928

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA₁ и PA₂ на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA₃. Аналогично определяются точки B₁, B₂ и C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 875 876 877 878 879 880 881 >> [Всего задач: 4557]