Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 877 878 879 880 881 882 883 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56948

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 56991

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56992

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57020

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

$\displaystyle {\frac{1}{r_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_c}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_d}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57021

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 877 878 879 880 881 882 883 >> [Всего задач: 4557]