Страница: << 873 874 875 876 877 878 879 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58442

Тема:   [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58459

Тема:   [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58460

Тема:   [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60588

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Докажите равенства
а) - = 1;
б) + = 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73626

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 6 Классы: 7,8,9

Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?

Попробуйте изучить другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 873 874 875 876 877 878 879 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями