Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 871 872 873 874 875 876 877 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58422

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости $\alpha$ , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

Прислать комментарий Решение

Задача 58432

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 58433

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий Решение

Задача 58435

[Теорема Паппа]

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

Прислать комментарий Решение

Задача 58436

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 871 872 873 874 875 876 877 >> [Всего задач: 4557]