Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 868 869 870 871 872 873 874 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58352

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 58353

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 58369

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

На плоскости дан многоугольник A₁A₂...A_n и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ ,
1 $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ ,
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$ .

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58370

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58371

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 868 869 870 871 872 873 874 >> [Всего задач: 4557]