Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 894 895 896 897 898 899 900 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56994

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 7
Классы: 9

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прислать комментарий Решение

Задача 57065

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57114

Тема:

[

Теорема Паскаля

]

Сложность: 7
Классы: 9

Точки A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и MN| A₆A₅. Докажите, что NK| A₅A₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 57466

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 7
Классы: 9

Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Докажите, что

a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²) $\displaystyle \ge$ 16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57793

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $\delta_{a}^{}$ , $\delta_{b}^{}$ , $\delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = 2S_ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 894 895 896 897 898 899 900 >> [Всего задач: 4557]