Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 893 894 895 896 897 898 899 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73537

Темы:	[	Окружности на сфере	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Правильная пирамида	]
	[	Многогранные углы	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

Прислать комментарий Решение

Задача 56704

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56966

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 7
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 56974

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7
Классы: 9

На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\angle$ AB₁A₁ = $\angle$ BC₁B₁ = $\angle$ CA₁C₁. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 56993

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прямые AK, BK и CK, где K — точка Лемуана треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что K — точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 893 894 895 896 897 898 899 >> [Всего задач: 4557]