Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 896 897 898 899 900 901 902 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57806

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Пусть (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) — абсолютные трилинейные координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = $\displaystyle {\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}$ (x₁ - x₂)² + $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}}$ (y₁ - y₂)² + $\displaystyle {\frac{\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}}$ (z₁ - z₂)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 57818

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Розенблюм Г.В.

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.

Прислать комментарий Решение

Задача 57954

Тема:

[

Поворот (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Прислать комментарий Решение

Задача 58117

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 58118

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n) $\ge$ n - 3; б) P(n) $\le$ 2n - 7; в) P(n) $\le$ 2n - 10 при n $\ge$ 13.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 896 897 898 899 900 901 902 >> [Всего задач: 4557]