Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 898 899 900 901 902 903 904 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58179

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Даны точки A₁,..., A_n. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

Прислать комментарий Решение

Задача 58214

Тема:

[

Целочисленные решетки (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58217

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S $\le$ p.

Прислать комментарий Решение

Задача 58218

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Выпуклая фигура $\Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $\Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58219

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 898 899 900 901 902 903 904 >> [Всего задач: 4557]