Страница:
<< 1120 1121 1122 1123
1124 1125 1126 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
а) 2012,
б) 2013 плоскостей симметрии?
в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что ∠BAC < 60°.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
Страница:
<< 1120 1121 1122 1123
1124 1125 1126 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
