Страница: << 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1125 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64453

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Число    представили в виде несократимой дроби.
Докажите, что если  3n + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64462

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки I_a, I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая I_aI_c пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что  ∠DBQ = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64465

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64469

Темы:   [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Точки M, N – середины диагоналей AC, BD прямоугольной трапеции ABCD  (∠A = ∠D = 90°).  Описанные окружности треугольников ABN, CDM пересекают прямую BC в точках Q, R. Докажите, что точки Q, R равноудалены от середины отрезка MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64470

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Точки Брокара ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ так, что  C₁A₁ ⊥ BC,  A₁B₁ ⊥ CA,  B₁C₁ ⊥ AB,  B₂A₂ ⊥ BC,  C₂B₂ ⊥ CA,
A₂C₂ ⊥ AB.  Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ так, что A₁ - на отрезке AB₁, B₁ - на отрезке BC₁, C₁ – на отрезке CA₁, A₂ – на отрезке AC₂, B₂ – на отрезке BA₂, C₂ – на отрезке CB₂ и углы BAA₁, CBB₁, ACC₁, CAA₂, ABB₂, BCC₂ равны. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1125 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями