Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 >> [Всего задач: 8157]

Задача 78253

Тема:

[

Обратный ход

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

k человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно k + $\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$ ${\frac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$ , где значок [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a. Примечание. Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Прислать комментарий Решение

Задача 78258

Тема:

[

Десятичная система счисления

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.

Прислать комментарий Решение

Задача 78265

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78271

Темы:	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Расстояние от фиксированной точки P плоскости до двух вершин A, B равностороннего треугольника ABC равны AP = 2; BP = 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок PC.

Прислать комментарий Решение

Задача 78272

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 >> [Всего задач: 8157]