Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1228 1229 1230 1231 1232 1233 1234 >> [Всего задач: 8157]

Задача 78485

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что

arctg x + arctg y + arctg z < $\displaystyle \pi$ .

Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78487

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78495

Темы:	[	ГМТ с ненулевой площадью	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78496

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

Прислать комментарий Решение

Задача 78499

Тема:

[

Подсчет двумя способами

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая 14-звенная ломаная, проходящая по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии не лежит более одного звена ломаной?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1228 1229 1230 1231 1232 1233 1234 >> [Всего задач: 8157]